通俗解释优化的线性感知机算法：Pocket PLA

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在上一篇文章：

我们详细介绍了线性感知机算法模型，并使用pyhon实例，验证了PLA的实际分类效果。下图是PLA实际的分类效果：

但是，文章最后我们提出了一个疑问，就是PLA只能解决线性可分的问题。对于数据本身不是线性可分的情况，又该如何解决呢？下面，我们就将对PLA进行优化，以解决更一般的线性不可分问题。

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Pocket PLA是什么

首先，我们来看一下线性不可分的例子：

如上图所示，正负样本线性不可分，无法使用PLA算法进行分类，这时候需要对PLA进行优化。优化后的PCA的基本做法很简单，就是如果迭代更新后分类错误样本比前一次少，则更新权重系数 w ；没有减少则保持当前权重系数 w 不变。也就是说，可以把条件放松，即不苛求每个点都分类正确，而是容忍有错误点，取错误点的个数最少时的权重系数 w 。通常在有限的迭代次数里，都能保证得到最佳的分类线。

这种算法也被称为「口袋PLA」Pocket PLA。怎么理解呢？就好像我们在搜寻最佳分类直线的时候，随机选择错误点修正，修正后的直线放在口袋里，暂时作为最佳分类线。然后如果还有错误点，继续随机选择某个错误点修正，修正后的直线与口袋里的分类线比较，把分类错误点较少的分类线放入口袋。一直到迭代次数结束，这时候放在口袋里的一定是最佳分类线，虽然可能还有错误点存在，但已经是最少的了。

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数据准备

该数据集包含了100个样本，正负样本各50，特征维度为2。

data = pd.read_csv('./data/data2.csv', header=None)
# 样本输入，维度（100，2）
X = data.iloc[:,:2].values
# 样本输出，维度（100，）
y = data.iloc[:,2].values

下面我们在二维平面上绘出正负样本的分布情况。

import matplotlib.pyplot as plt

plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 0], X[50:, 1], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.title('Original Data')
plt.show()

很明显，从图中可以看出，正类和负类样本并不是线性可分的。这时候，我们就需要使用Pocket PLA。

3

Pocket PLA代码实现

首先分别对两个特征进行归一化处理，即：

# 均值
u = np.mean(X, axis=0)
# 方差
v = np.std(X, axis=0)

X = (X - u) / v

# 作图
plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 0], X[50:, 1], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.title('Normalization data')
plt.show()

接下来对预测直线进行初始化，包括权重 w 初始化：

# X加上偏置项
X = np.hstack((np.ones((X.shape[0],1)), X))
# 权重初始化
w = np.random.randn(3,1)

整个迭代训练过程如下：

for i in range(100):
   s = np.dot(X, w)
   y_pred = np.ones_like(y)
   loc_n = np.where(s < 0)[0]
   y_pred[loc_n] = -1
   num_fault = len(np.where(y != y_pred)[0])
   
   if num_fault == 0:
       break
   else:
       r = np.random.choice(num_fault)        # 随机选择一个错误分类点
       t = np.where(y != y_pred)[0][r]
       w2 = w + y[t] * X[t, :].reshape((3,1))
       
       s = np.dot(X, w2)
       y_pred = np.ones_like(y)
       loc_n = np.where(s < 0)[0]
       y_pred[loc_n] = -1
       num_fault2 = len(np.where(y != y_pred)[0])
       if num_fault2 <num_fault:
           w = w2        # 犯的错误点更少，则更新w，否则w不变

其中，迭代次数为100次，每次迭代随机选择一个错误点进行修正，修正后的分类线错误率与之前的分类线比较，若错误率较低，则选择修正后的分类线。继续进行下一次迭代。

迭代完毕后，得到更新后的权重系数 w ，绘制此时的分类直线是什么样子。

# 直线第一个坐标（x1，y1）
x1 = -2
y1 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 + w[1] * x1)
# 直线第二个坐标（x2，y2）
x2 = 2
y2 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 + w[1] * x2)
# 作图
plt.scatter(X[:50, 1], X[:50, 2], color='blue', marker='o', label='Positive')
plt.scatter(X[50:, 1], X[50:, 2], color='red', marker='x', label='Negative')
plt.plot([x1,x2], [y1,y2],'r')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.show()

计算一下分类的正确率：

s = np.dot(X, w)
y_pred = np.ones_like(y)
loc_n = np.where(s < 0)[0]
y_pred[loc_n] = -1
accuracy = len(np.where(y == y_pred)[0]) / len(y)
print('accuracy: %.2f' % accuracy)

accuracy: 0.93

分类正确率达到了0.93。

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PLA的损失函数分析

我们知道，任何一个机器学习问题包含三个方面：模型、策略、算法。从策略来说，无论是PLA还是Pocket PLA，使用的损失函数是统计误分类点的总数，即希望误分类点的总数越少越好，属于0-1损失函数「0-1 Loss Function」。但是，这样的损失函数不是参数 w 的连续可导函数。

从算法实现上来看，PLA每次不断修正错误点，修正公式为：

修正公式的推导，我们在上一篇文章中已经详细解释过。数学上可以证明，PLA算法是收敛的。

而对于分类问题，常见的损失函数一般为交叉熵损失函数「Cross Entropy Loss」。其表达式为：

交叉熵损失函数使用的梯度下降算法修正公式为：

对比起来，PLA和交叉熵损失函数的修正公式具有相似性，不同的是PLA没有引入学习因子η和梯度。

以上内容对比了PLA和一般分类问题在策略和算法上的差异性。其实，红色石头想说的是，抓住本质最为重要，知道了不同的策略和方法，搭配不同的机器学习模型，只要能解决实际问题，都是可以的。也就是说我完全可以使用平方误差来作为分类问题的策略，从理论上讲是可行的。千万不要在解决问题时，只固定一种思路。

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总结

PCA是机器学习最简单的算法之一。PLA处理线性可分问题，优化的PLA解决线性不可分的问题。实际验证表明，一般的PLA处理线性可分及线性不可分问题都有不错的表现，即一般能得到最佳的分类直线。但是PLA过于简单，有其本身的局限性。

本文完整代码我已上传到GitHub上，需要的点击「阅读原文」自行获取。喜欢的话，不妨点个Star。

P.S. 有兴趣的读者朋友也可以看看李航的《统计学习方法》第二章关于PLA的介绍，其思路和做法与我说的有所不同，使用的损失函数是误分类点到超平面的距离，效果应该更好一些。

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